6. La concentración de un producto en una reacción química.
7. La expectativa de vida de una persona cuando nace.
8. La variación del área de un terreno de acuerdo a sus dimensiones.</li></li></ul><li>Propósito de un modelo<br /> Entender el fenómeno y quizá hacer predicciones con respecto al comportamiento futuro.<br />
9. Proceso de un modelo matemático<br />Problema en el mundo real<br />formular<br />Modelo matemático<br />resolver<br />test<br />Conclusiones matemáticas <br />Interpretar<br />Predicciones en el mundo real<br />
10. Un modelo matemático nunca es una representación totalmente precisa de una situación física, es una idealización.<br />Un buen modelo simplifica la realidad lo suficiente como para permitir cálculos matemáticos pero es lo suficientemente preciso para proveer conclusiones valiosas.<br />
11. Las funciones en un modelo<br />Existen diferentes tipos de funciones que pueden usarse para modelar correspondencias que se observan en el mundo real.<br />
13. Modelos lineales<br />Llamamos modelos lineales a aquellas situaciones que después de haber sido analizadas matemáticamente, se representan por medio de una función lineal. En algunos casos nuestro modelo coincide precisamente con una recta; en otros casos, a pesar de que las variables que nos interesan no pertenecen todas a la misma línea, es posible encontrar una función lineal que mejor se aproxime a nuestro problema, ayudándonos a obtener información valiosa. <br />
14. Nuestro modelo lineal se puede determinar de manera gráfica o bien, por medio de una ecuación. <br />Existen ocasiones en que a una de nuestras variables le pedimos que cumpla varias condiciones a la vez, entonces surge un conjunto de ecuaciones donde el punto de intersección de dichas ecuaciones representa la solución de nuestro problema. <br />
15. Ejemplo de modelo lineal<br />Supone que observamos como un hombre y una mujer se despiden y empiezan a alejarse uno del otro. A continuación mostramos una lista de las distancias que han recorrido cada uno de ellos en el mismo tiempo. <br />
16. La forma geométrica que mejor aproxima los datos es una recta. Para determinar la ecuación de dicha recta, haremos el siguiente análisis. <br />* Representaremos por medio de y la distancia recorrida por el hombre y por medio de la x la distancia recorrida por la mujer. <br />*Escogeremos dos parejas de datos de la lista, por ejemplo (1,2) y (2,4) <br />* sustituiremos cada una de estas parejas en la ecuación y=mx+b y resolveremos el sistema de ecuaciones, encontrando los valores constantes m y b. <br />
17. Solución: <br />Nuestro modelo está representado, analíticamente, por medio de la recta <br />y=2x <br />Su solución gráfica es la que a continuación muestra el dibujo<br />
19. Observaciones: <br /> Notemos que, a pesar de que existen puntos que no satisfacen la ecuación (por ejemplo (9,18.5) ), hay una mayoría de puntos que si satisfacen la ecuación. <br /> Podemos predecir que, si ambas personas siguen avanzando de manera similar, la mujer no va a poder haber caminado 56 metros, mientras que el hombre hubiera caminado únicamente 50. <br />
20. Función lineal<br /> Decimos que una función es lineal si se puede expresar de la forma: <br /> f(x)= mx+b<br />Donde m y b son constantes. <br />La gráfica de una función lineal es una recta que tiene pendiente m e intersecta al eje y en el punto (0, b). <br />A continuación se muestran tres funciones lineales con sus respectivas gráficas y una lista de algunas de las parejas ordenadas que pertenecen a dichas funciones lineales. <br />
21. Para determinar la ecuación de una recta es necesario encontrar los valores de m y b. Para ello podemos plantear un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, utilizando dos parejas ordenadas distintas que pertenecen a la recta que estamos buscando. <br />
22. Modelo cuadrático<br />Decimos que el modelo es cuadrático si lo podemos expresar por medio de una función cuadrática. <br />Un modelo cuadrático se puede determinar a través de una ecuación o bien, por medio de una gráfica que mejor aproxime los datos. <br />
23. En algunos casos puede ocurrir que nuestro modelo coincida precisamente con una parábola, mientras que habrá otras ocasiones en las que no todos los datos pertenecen a la misma curva. En dicha situación trataremos de encontrar aquella parábola que mejor represente el modelo que estamos analizando. <br />
24. Ejemplo de Modelo Cuadrático: <br />Un arquitecto debe construir un puente colgante y, para ello requiere que todo el peso del puente esté bien distribuido a lo largo de los cables de los cuales debe colgar el puente. Las observaciones que ha hecho son las siguientes: <br />
25. La forma geométrica que mejor aproxima los datos es una parábola. Para determinar la ecuación de dicha curva, haremos el siguiente análisis. <br /> Representaremos por medio de Y la altura a la cual se debe colocar el cable en la distancia X del puente. <br /> Escogeremos tres datos de la lista, por ejemplo (1,100), (2,82.9) y (4.85,10) <br /> Sustituiremos cada una de estas parejas en la ecuación y=ax²+bx+c y resolveremos el sistema de ecuaciones, encontrando los valores constantes a, b y c. <br />
26. Solución. <br />Nuestro modelo está representado, analíticamente, por medio de la parábola <br />y=- 0.00144x²- 0.72x+100 <br />La solución gráfica es la que a continuación muestra el dibujo. <br />
28. Función cuadrática<br />Decimos que una función es cuadrática si se puede expresar de la forma <br />f(x)= ax2+bx+c <br />donde a,b y c son constantes y a # 0 <br />La gráfica de una función cuadrática es una parábola y su dominio es el conjunto de los números reales. <br />Si a>0, se dice que la parábola es positiva y, en este caso, abre hacia arriba. Si a<0, la parábola es negativa y abre hacia abajo. <br />
29. A continuación se muestran tres funciones cuadráticas con sus respectivas gráficas y una lista de algunas de las parejas ordenadas que pertenecen a dichas funciones cuadráticas. <br />f(x)= x²- 5x + 4 <br />f(x)= - x²- 5x + 4 <br />f(x)= - 2x²- 5x + 4 <br />
32. Un modelo cuadrático<br />El número y en millones de aparatos de video en uso en EUA, <br />de 1984 a 1993 se muestran en la tabla, donde t= 4 representa el <br />año 1984. <br />La gráfica de estos datos se ve así:<br />
33. Si ajustamos un modelo lineal obtenemos lo siguiente:<br />Que no es aceptable pues el comportamiento de los datos parece <br />diferente. <br />
34. Ajustando un modelo cuadrático se obtiene lo siguiente:<br />Este modelo se ajusta mucho mejor a los datos. Podemos afirmar <br />que estos datos tienen un comportamiento cuadrático.<br />
35. La gráfica de este modelo “cuadrático” es la siguiente:<br />Esta curva se llama parábola y se ajusta muy bien a nuestros datos en el intervalo 4 t 13.<br />
36. Modelos Exponenciales<br /> Llamamos modelos exponenciales a aquellas situaciones que después de haber sido examinadas matemáticamente, se representan por medio de una función exponencial.<br /> Un modelo exponencial se puede determinar a través de una ecuación o bien, por medio de una gráfica que mejor aproxime los datos de nuestro problema, aunque es preferible el primer método, ya que el tipo de información que obtenemos es más preciso <br />
37. Los modelos exponenciales son muy frecuentes en el estudio de crecimientos poblacionales, en el cálculo de intereses bancarios, así como también diversos fenómenos físicos. <br />
